page contents
محاضرات الفيزياء الحديثة

محاضرة 11 فيزياء حديثة

مبدأ الشك لهيزنبيرج The Uncertainty Principle

مبدأ الشك لهيزنبيرج The Uncertainty Principle: إذا قمنا بدراسة الجسيم باعتبار خواصه الجسيمية فهذا بالضرورة يؤدي إلى فقد خواصه الموجية والعكس صحيح أي اذا درسنا الجسيم باعتبار الخاصية الموجية فهذا سيؤدي إلى فقد خواصه الجسيمية.  وإذا أردنا أن ندرس الخاصيتين معاً فإننا سوف لا تستطيع تحديد موقع الجسيم بدقة بل نعين احتمالية تواجد الجسيم في الفراغ وفي هذه الحالة من عدم الدقة في تحديد موقع الجسيم فإنه لن يفقد خواصه الموجية..  لذا من المستحيل أن نطبق الخواص الموجية والجسيمية في وقت واحد على الجسيمات المادية أو الفوتونات فإذا اخترنا أحد الصفتين فلابد من استبعاد الأخرى. لذا فإن مبدأ الشك يجمع الخاصيتين معاً.




مبدأ الشك في الفيزياء الكلاسيكية

الجسيم المثالي هو الجسيم الذي يمكن تعيين موقعه في الفراغ بدقة كما إن كتلته وشحنته محددة بدقة.  والموجة المثالية هي موجة جيبية لا يمكن تحديد مدى انتشارها في الفراغ أي أنها تمتد امتداداً لانهائياً ولها تردد محدد f وطول موجي معين λ وسرعة انتشار v = λf

لنفترض أن لدينا موجة مثالية ونريد أن نقارن موجة مجهولة بتلك الموجة القياسية. والسؤال هنا كيف يمكن أن نقول بمنتهى الدقة أن تردد الموجة المجهولة يساوي تماماً تردد الموجة المثالية؟

سوف ندع الموجتان تداخلان لكي ينتج عنها ظاهرة الضربات Beats عدد الضربات في وحدة الزمن يساوي الفرق في ترددهما، إذا قمنا بمراقبة الموجتان لمدة محدودة من الزمن قد لا نلاحظ تغيراً ملحوظاً على سعة الموجة المحصلة الناتجة من التداخل ولكن لا يمكننا بذلك أن نجزم بأنه لا يوجد ضربات إذ أنه إذا انتظرنا وقتاً كافياً لأمكننا تسجيل ضربة. ولكي نكون متأكدين تماماً من عدم وجود ضربات أي أن فرق التردد بين الموجتين يساوي صفر أي لهما نفس التردد فلابد من الانتظار زمناً لانهائياً.

إذا كان الفرق في التردد بين الموجتين هو Δf فإن الفاصل الزمني بين ضربة والتي تعقبها هو 1/Δf

ولذلك لا بد من أن ننتظر زمناً Δt على الأقل أكبر من الزمن بين الضربتين أي أن

Δt > 1/Δf

بمعنى أن اللاحتمية (الشك) في قياس التردد Δf تكون كبيرة إذا كان التردد قد قيس على امتداد فترة زمنية قصيرة وحتى يكون الشك في التردد Δf مساوياً للصفر فإن Δt لا بد أن تكون لانهائية.

Δf Δt > 1       (1)

العلاقة التي تعطي اللاحتمية المناظرة للطول الموجي هو Δλ يمكن اشتقاقها كالتالي:

Δx = v Δt

 Δt ≥ 1/Δf

∴ Δx/v ≥ 1/Δf
 

 But  v = λf     →   f = v/λ        →      Δf = vΔλ/λ2 

 Δx/v ≥  λ2/vΔλ

مبدأ الشك لهيزنبيرج The Uncertainty Principle

ΔλΔx   ≥   λ2          (2)

المعادلة (2) تشير إلى انه إذا كان امتداد الموجة في الفراغ غير محدد أو لا حتمي بمقدار Δx فإن طولها الموجي غير حتمي بمقدار Δλ حيث أن Δλ=λ2/Δx.  بمعنى أنه لكي تكون الموجة وحيدة اللون Δλ=0 فإن امتدادها يكون لا نهائي في الفراغ.

النبضة الموجية Wave Packet

النبضة الموجية هي اهتزازة موجية محصورة في مدى محدد من الفراغ يمكن إثبات (رياضياً) إن تلك الموجة مكونة من عدة موجات مختلفة في التردد ومتطابقة الواحدة فوق الأخرى أي لها محتوى ترددي Δf وإذا جمعنا عدد الموجات ذات الترددات المختلفة التي تداخلها مع بعضها البعض لنحصل على نبضة حادة تماماً فسوف نجد أن جميع الترددات من صفر إلى مالانهاية أي أن المحتوى الترددي لهذه النبضة هو Δf=¥ ومعنى ذلك أن Δλ=¥ ومن المعادلة (2) فإن Δx=0 وهي الصفة الجسيمية.

مبدأ الشك لهيزنبيرج

إذا قمنا بوصف الشعاع الكهرومغناطيسي باستخدام الخاصية الجسيمية وقمنا بتحديد موقع الفوتون عند أي لحظة من الزمن بدقة متناهية، فإن من مبدأ الشك يكون كلا من

Δx=Δt=0

ومن ناحية أخرى فإن الشك في تحديد الطول الموجي والتردد يكونان مالانهاية

Δλ=Δf=¥

إاذا اعتبرنا حالة وسط أي ان يكون رصد الفوتون في المكان والزمان بطريقة غير محددة بدقة بل بنسبة شك قدرها Dx للمكان و Dt للزمان فإن من المعادلتين (1) و (2) يكون

Δf Δt ≥ 1       (1)

ΔλΔx ≥ λ2          (2)

والمعادلة (1) تعني أنه في حالة قياس التردد لموجة خلال فترة محددة من الزمن Δt يكون الشك في التردد هو Δf

والمعادلة (2) تعني أنه في حالة قياس الطول الموجي لموجة في مسافة قدرها Δx فإن الشك في قياس الطول الموجي يكون Δλ.

هاتين المعادلتين تم استنتاجهما على أساس الفيزياء الكلاسيكية وفي الفيزياء الحديثة يستعان بهاتين المعادلتين في ربط الخصائص الجسيمية (الطاقة وكمية الحركة) مع الخصائص الموجية (التردد والطول الموجي).  من خلال المعادلتين التاليتين:

Energy of the photon            E = h f

Momentum of the photon    p = h/λ

وبإجراء التفاضل للمعادلة الأولى E = h n نحصل على مقدار الشك في الطاقة بالنسبة للشك في التردد

ΔE=hΔf

ΔEΔt ≥ h        (3)

وهذه الصيغة الأولى لمبدأ الشك لهيزنبيرك والتي تنص على أن حاصل ضرب مقدار الشك في الطاقة والزمن يكون على الأقل اكبر من أو يساوي ثابت بلانك.  وهذا يعني أن في حالة جسيم مثل الإلكترون أو الفوتون أو مجموعة من الجسيمات تكون في مستوى طاقة معين لفترة زمنية محددة بـ Δt, وعليه يكون الشك في مقدار مستوى الطاقة صفر إذا بقيت الجسيمات في ذلك المستوى لفترة زمنية لانهائية، وحيث أن الجسيمات تمكث في مستوى الطاقة فترة زمنية محددة إذا سيكون هناك مقداراً من الشك في الطاقة قدره ΔE ويساوي ثابت بلانك على Δt.

لجسيم يتحرك في بعد واحد على محور x فإن العلاقة بين الشك في كمية حركة الجسيم والشك في الطول الموجي يمكن الحصول عليه بتفاضل المعادلة p = h/λ

مبدأ الشك لهيزنبيرج The Uncertainty Principle

وهذه الصيغة الثانية لمبدأ الشك لهيزنبيرك والتي تنص على أن حاصل ضرب مقدار الشك في الموقع ومقدار الشك في كمية الحركة يساوي على الأقل ثابت بلانك.  وعليه فإنه من المستحيل قياس كلاً من المكان وكمية الحركة في نفس اللحظة بدقة متناهية.

مثال

أوجد مقدار الخطأ في قياس كمية تحرك إلكترون يحمل طاقة قدرها 1000 إلكترون فولت ويتحرك على استقامة محور x أفترض أن الخطأ الحتمي في قياس موقع الإلكترون لا يتعدى 1 انجستروم (وهذا يمثل الأبعاد الذرية).

الحل

مبدأ الشك لهيزنبيرج The Uncertainty Principleمبدأ الشك لهيزنبيرج The Uncertainty Principleمبدأ الشك لهيزنبيرج The Uncertainty Principle

وهذا هو مقدار الشك في قياس كمية الحركة للإلكترون في المثال  ولمقارنة مقدار الشك في كمية الحركة بقيمة كمية الحركة نجرى الحسابات التالية:

مبدأ الشك لهيزنبيرج The Uncertainty Principle

مبدأ الشك لهيزنبيرج The Uncertainty Principle

مبدأ الشك لهيزنبيرج The Uncertainty Principle

يتضح من المثال السابق انه بسبب مبدأ الشك لا نستطيع تحديد كمية الحركة للإلكترون المحصور في نطاق من الفراغ يساوي الأبعاد الذرية بدقة.

مثال

أوجد مقدار اللاحتمية (الشك) في قياس كمية تحرك جسم كتلته 10 جرام يتحرك بسرعة قدرها 10سم/ثانية.  افترض أن اللاحتمية في تحديد موقع الجسم تساوي 10-3 سم.

الحل

مبدأ الشك لهيزنبيرج The Uncertainty Principle

وهذا هو مقدار الشك في قياس كمية الحركة الجسيم في المثال  ولمقارنة مقدار الشك في كمية الحركة بقيمة كمية الحركة نجرى الحسابات التالية:

مبدأ الشك لهيزنبيرج The Uncertainty Principle

وهذا يعني أن الشك للجسيمات الكبيرة نسبياً متناهي في الصغر ويساوي صفر.

كيف يمكن تصور شكل موجة الإلكترون بالاعتماد على مبدأ الشك؟

ذكرنا سابقاً أن للإلكترون خصائص موجية وأن الإلكترون يمكن اعتباره موجه ولكن طبيعة هذه الموجة غير معروف وتم اعتبار الدالة الموجية ψ هي الموجة المصاحبة للإلكترون.  ومن مبدأ الشك يمكن الجمع بين الخاصية الجسيمية والخاصية الموجية باعتبار موجة تنتشر على مدى محدد في الفراغ وبالتأكيد فإن هذه الموجة لن تكون موجة جيبية لأن الموجة الجيبية غير محددة في الفراغ ولها امتداد لانهائي. واذا افترضنا مجموعة من الموجات الجيبية بترددات مختلفة تشكل نبضة موجية wave packet تنتشر على مدى محدد في الفراغ كما في الشكل يمكن ان تمثل موجة الإلكترون.

مبدأ الشك لهيزنبيرج The Uncertainty Principle




الوسوم

الدكتور حازم فلاح سكيك

د. حازم فلاح سكيك استاذ الفيزياء المشارك في قسم الفيزياء في جامعة الازهر – غزة | مؤسس شبكة الفيزياء التعليمية | واكاديمية الفيزياء للتعليم الالكتروني | ومنتدى الفيزياء التعليمي

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

هذا الموقع يستخدم Akismet للحدّ من التعليقات المزعجة والغير مرغوبة. تعرّف على كيفية معالجة بيانات تعليقك.

إغلاق