لماذا تعتبر “F = ma” أهم معادلة في الفيزياء

إذا كانت هناك معادلة واحدة يتعلمها الجميع عن الفيزياء فهي معادلة القانون الثاني لنيوتن F = ma. على الرغم من أنها مستخدمة على نطاق واسع منذ حوالي 350 عامًا حتى الآن، منذ إن طرحها نيوتن لأول مرة في أواخر القرن السابع عشر، إلا انه نادرًا ما تكون هناك قائمة بأهم المعادلات بدون أن تكون معادلة نيوتن من ضمنها.

عند وصف أي كائن تم التأثير عليه بواسطة قوة خارجية، فإن معادلة نيوتن الشهيرة F = ma هي المعادلة التي تصف كيف ستتطور حركته مع مرور الوقت. على الرغم من أنها معادلة تبدو بسيطة، إلا أن هناك علما واسعا مشفرا في هذه المعادلة التي تبدو واضحة.

تستمر معادلة F = ma، على الرغم من بساطتها الواضحة، في تقديم رؤى جديدة لمن يدرسها سواء في المرحلة المدرسية أو الجامعية، بالرغم من إنها تتكون من ثلاث معاملات فقط هي القوة والكتلة والتسارع، إلا أن هناك عالمًا رائعًا من الفيزياء ينفتح إذا قمت فقط بالتحقيق في أعماق F = ma. هيا بنا نتعمق أكثر في هذه المعادلة.

بمعزل عن أي نظام، سواء في حالة السكون أو الحركة، بما في ذلك الحركة الزاوية، لن يكون قادرًا على تغيير تلك الحركة بدون قوة خارجية. أما في الفضاء، فان خياراتك محدودة، ولكن حتى في محطة الفضاء الدولية لوكالة ناسا، يمكن لمكون واحد (مثل رائد فضاء) التأثير بقوة على عنصر آخر (مثل رائد فضاء آخر) لتغيير حركته وهي السمة المميزة لقوانين نيوتن في جميع أشكالها.

أساسيات جوهرية

من الواضح إنك سوف تتعامل مع المعادلة F = ma بنفس الطريقة التي تعامل بها معادلة لخط مستقيم. علاوة على إنها ابسط من معادلة الخط المستقيم في الرياضيات التي تكتب على الصورة y = mx + b، وهذه هي الصيغة الرياضية المعروفة لمعادلة خط مستقيم إلا إن معادلة نيوتن F = ma لا يوجد فيها المعامل “b“ على الإطلاق مما يجعلها معادلة أسهل حتى من معادلة الخط المستقيم.

لماذا هذا؟

لأن هذه فيزياء وليست رياضيات. نحن نكتب فقط المعادلات التي تتوافق مع معطيات النظام، وأي b لا تساوي الصفر ستؤدي إلى سلوك غريب في الفيزياء. تذكر أن نيوتن وضع ثلاثة قوانين للحركة تصف جميع الأجسام:

القانون الأول: الجسم الساكن يبقى ساكنا والجسم المتحرك يبقى متحركا، ما لم تؤثر عليه قوة خارجية.

القانون الثاني: سيتسارع الجسم في اتجاه أي محصلة القوى المؤثرة عليه، وسوف يتسارع بمقدار هذه القوة مقسومًا على كتلة الجسم.

القانون الثالث: يجب أن يكون لأي فعل – والقوة مثال على الفعل – رد فعل مساوٍ له في المقدار ومعاكس له في الاتجاه. إذا مارس أي شيء قوة على أي جسم، فإن هذا الجسم يمارس قوة مساوية ومعاكسة على “الشيء” الذي يدفعه أو يسحبه.

القانون الأول هو السبب في أن المعادلة هي F = ma وليس F = ma + b، لأنه بخلاف ذلك لا يمكن للأشياء أن تبقى في حركة ثابتة في غياب القوى الخارجية.

يبقى الجسم الساكن في حالة سكون، ما لم تؤثر عليه قبل قوة خارجية. نتيجة لتلك القوة الخارجية، لم يعد فنجان القهوة في حالة سكون.

هذه المعادلة، إذن، F = ma، لها ثلاثة معاني مرتبطة بها، المعنى الأول هو إذا كان بإمكانك قياس كتلة الجسم وكيفية تسارعه، فيمكنك استخدام F = ma لتحديد القوة الكلية المؤثرة على الجسم.

والمعنى الثاني انه إذا كان بإمكانك قياس كتلة الجسم وتعرف (أو تستطيع قياس) القوة الكلية التي يتم تطبيقها عليه، يمكنك تحديد كيف يتسارع هذا الجسم. (هذا مفيد بشكل خاص عند الرغبة في تحديد كيف يتسارع جسم ما تحت تأثير الجاذبية).

والمعنى الثالث إذا كان بإمكانك قياس أو معرفة كل من محصلة القوة المؤثرة على جسم ما وكيفية تسارعه، فيمكنك استخدام هذه المعلومات لتحديد كتلة الجسم.

أي معادلة ذات ثلاث متغيرات متصلة بهذا الشكل، حيث يوجد متغير واحد في أحد طرفي المعادلة ويتم ضرب المتغيرين الآخرين معًا في الجانب الآخر، فإنها تسلك نفس سلوك معادلة نيوتن تماما. ومن المعادلات الشهيرة الأخرى قانون هابل للكون المتوسع، وهو v = Hr. (سرعة تباعد مجرة من المجرات عنا تساوي ثابت هابل مضروبًا في المسافة)، وقانون أوم، وهو V = IR (الجهد يساوي التيار مضروبًا في المقاومة).

يمكننا التفكير في F = ma بطريقتين أخريين متكافئتين: F / m = a وF / a = m. على الرغم من أن الحصول على هذه المعادلات الأخرى من الأصل هو تلاعب جبري فقط، إلا أنه تمرين مفيد في تعليم الطلاب التمهيديين حل كمية غير معروفة باستخدام العلاقات المادية والكميات المعروفة التي نمتلكها بالفعل.

في هذا المشهد المركب لحركة شخص، يبدأ الشخص من السكون ويتسارع من خلال بذل قوة بين قدميه والأرض. إذا تم معرفة اثنين من الثلاثة القوة والكتلة والعجلة، يمكنك إيجاد الكمية المفقودة من خلال تطبيق نيوتن بشكل صحيح F = ma.

تعمق أكثر في الأساسيات

طريقة نقل F = ma إلى المستوى التالي بسيط ومباشر، ولكنه عميق: وهو التعمق في إدراك معنى التسارع. التسارع هو تغيير في السرعة (v) خلال فترة زمنية (t)، ويمكن أن يكون هذا إما متوسط التسارع، مثل زيادة سرعة سيارتك من 0 إلى 100 كيلومتر في الساعة، أو تسارع لحظي وهو مقدار تسارعك في لحظة معينة من الزمن. عادةً ما نعبر عن هذا كـ a = Δv/Δt، حيث يرمز الرمز “Δ” إلى التغيير بين القيمة النهائية والقيمة الابتدائية، أو كـ a = dv / dt، حيث يشير الحرف “d” إلى تغيير لحظي.

وبالمثل، فإن السرعة نفسها هي تغيير في الموضع (x) مع الزمن، لذا يمكننا كتابة v = Δx/Δt لمتوسط السرعة، وv = dx/dt للسرعة اللحظية. العلاقة بين الموقع والسرعة والتسارع والقوة والكتلة والوقت هي علاقة عميقة: علاقة حيرت العلماء بشأنها لعقود وأجيال وحتى قرون قبل أن تتم بنجاح تدوين المعادلات الأساسية للحركة في القرن السابع عشر.

بالإضافة إلى ذلك، ستلاحظ أن بعض الأحرف مكتوبة بخط عريض: x وv وa و F. وذلك لأنها ليست مجرد كميات؛ إنها كميات متجهة. بالنظر إلى أننا نعيش في كون ثلاثي الأبعاد، فإن كل واحدة من هذه المعادلات التي تحتوي على كمية متجهة هي في الواقع ثلاث معادلات: واحدة لكل من الأبعاد الثلاثة (على سبيل المثال، x، y، وz) الموجودة في كون.

حقيقة أن F = ma معادلة ثلاثية الأبعاد لا تؤدي دائمًا إلى حدوث تعقيدات بين الأبعاد. هنا، تتسارع الكرة الواقعة تحت تأثير الجاذبية في الاتجاه الرأسي فقط؛ تظل حركته الأفقية ثابتة، طالما تم إهمال مقاومة الهواء وإهمال فقدان الطاقة من التأثير على الأرض.

أحد الأشياء الرائعة حول هذه المجموعات من المعادلات هو: أنها كلها مستقلة عن بعضها البعض.

ما يحدث في الاتجاه x، من حيث القوة والموضع والسرعة والتسارع، يؤثر فقط على المكونات الأخرى في الاتجاه x. وبالمثل بالنسبة للاتجاهات y وz أيضًا: ما يحدث في تلك الاتجاهات يؤثر فقط في تلك الاتجاهات. لهذا السبب عندما تضرب كرة الجولف على القمر، فإن الجاذبية تؤثر فقط على حركتها في الاتجاه “الأعلى والأسفل”، وليس في الاتجاه جنبًا إلى جنب؛ سيستمر، باستمرار، في حركته دون تغيير: إنه جسم متحرك مع عدم وجود قوى خارجية في هذا الاتجاه.

يمكننا التوسع أكثر في هذه الحركة بعدد من الطرق المختلفة. بدلاً من التعامل مع الأشياء كما لو كانت كتل نقطية مثالية، يمكننا اعتبار الكتل التي هي كائنات ممتدة. بدلاً من معالجة الكائنات التي تتحرك فقط في خطوط، وتتسارع بمعدل ثابت في اتجاه واحد أو أكثر، يمكننا معالجة الكائنات التي تدور في مسار دائري وتدور حول نفسها. من خلال هذا الإجراء، يمكننا البدء في مناقشة مفاهيم مثل عزم الدوران، وعزم القصور الذاتي، وكذلك الموضع الزاوي، والسرعة الزاوية، والتسارع الزاوي. لا تزال قوانين ومعادلات الحركة لنيوتن سارية المفعول ومتحققة، حيث يمكن اشتقاق كل شيء من نفس المعادلة الأساسية: F = ma.

التفاضل والتكامل والمعادلات التفاضلية

هناك حقيقة مادية مهمة كنا نتحدث حولها، ولكن حان الوقت لتناولها مباشرة: مفهوم المعدل. السرعة هي المعدل الذي يتغير به موقعك: إنها مسافة بمرور الوقت، أو تغير في المسافة خلال تغير في الوقت، ولهذا السبب تحتوي على وحدات مثل متر في الثانية أو كيلومتر في الساعة. وبالمثل، فإن العجلة هي المعدل الذي تتغير به سرعتك: إنه تغير في السرعة على مدار تغير في الزمن، ولهذا السبب تحتوي على وحدات مثل متر لكل ثانية تربيع: لأنها سرعة (متر لكل ثانية) على مدار الوقت (في الثانية).

إذا كنت تعرف، على سبيل المثال:

• أين يوجد شيء ما الآن،
• كم الساعة الإن
• ما مدى سرعة تحركه الآن،
• وما هي القوى التي ستعمل عليها،

يمكنك توقع ما ستفعله في المستقبل. هذا يعني أنه يمكننا التنبؤ بالمكان الذي سيكون فيه في أي وقت، بما في ذلك بعيدًا بشكل كبير في المستقبل، طالما أن لدينا قوة حسابية أو آلة حاسبة تحت تصرفنا. معادلات نيوتن حتمية تمامًا، وبالتالي إذا تمكنا من قياس أو معرفة الشروط الأولية لجسم في وقت ما، ونعرف كيف سيتأثر هذا الجسم القوى بمرور الوقت، فيمكننا التنبؤ بدقة بالمكان الذي سيؤول إليه.

في حين أن حركة الكواكب قد تبدو بسيطة، إلا أنها تحكمها معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية تربط القوة بالتسارع. لا ينبغي التقليل من صعوبة حل هذه المعادلة، ولكن لا ينبغي الاستهانة بقوة نيوتن F = ma في شرح مجموعة متنوعة هائلة من الظواهر في الكون.

هذه هي الطريقة التي نتوقع بها حركة الكواكب، وصولا إلى المذنبات، وتقييم إذا ما كانت هذه المذنبات سوف تصطدم بالأرض، وكيف وصلنا إلى القمر. في جوهرها، F = ma هو ما نسميه المعادلة التفاضلية، والمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية عند ذلك. (لماذا؟ لأن “الدرجة الثانية” تعني أن لها مشتقًا زمنيًا ثانيًا هناك: التسارع هو تغير في السرعة على مدار تغير في الوقت، في حين أن السرعة هي تغيير في الموضع خلال تغيير في الوقت.) المعادلات التفاضلية هي فرع من الرياضيات، ولها شقين هما:

المعادلة التفاضلية هي معادلة تخبرك، بافتراض أنك تعرف ما يفعله الكائن الآن، وما الذي سيفعله في اللحظة التالية. ثم، عندما تنقضي تلك اللحظة التالية، تخبرك تلك المعادلة نفسها بما سيحدث في اللحظة التالية، وهكذا، إلى ما لا نهاية.

ومع ذلك، لا يمكن حل معظم المعادلات التفاضلية الموجودة بالضبط؛ يمكننا فقط تقريبها. علاوة على ذلك، فإن معظم المعادلات التفاضلية التي يمكن حلها لا يمكن حلها بواسطتنا، وأعني بـ “نحن” الفيزيائيين النظريين والرياضيين المحترفين. هذه الأشياء صعبة.

المعادلة F = ma هي واحدة من تلك المعادلات التفاضلية الصعبة للغاية، ومع ذلك فإن الظروف البسيطة نسبيًا التي يمكننا حلها في ظلها تعتبر تعليمية. هذه الحقيقة تكمن وراء الكثير من العمل الذي تقوم على أساسه الفيزياء النظرية لعدة قرون، وهي حقيقة لا تزال صحيحة حتى اليوم.

تقودنا معادلة نيوتن F=ma إلى إطلاق الصواريخ والنسبية

قد تتعجب عندما أقول لك أن نيوتن لم يصغ قانونه الثاني على النحو F = ma بأي شكل من الأشكال حيث انه قال إن القوة هي المعدل الزمني لتغير كمية الحركة (الزخم)، حيث أن كمية الحركة هي حاصل ضرب الكتلة في السرعة.

هاتين الصيغتين لقانون نيوتن ليستا متساويتين. المعادلة F = ma تشير إلى أن القوة، التي تحدث في اتجاه ما، تؤدي إلى تسارع الكتلة: أي تغير في السرعة بمرور الوقت لكل كتلة تؤثر عليها قوة. أما كمية الحركة (الزخم)، الذي يرمز له بالرمز p هو حاصل ضرب الكتلة في السرعة: p = mv.

هل يمكنك أن ترى الاختلاف؟ إذا قمنا بتغيير الزخم بمرور الوقت، سواء كان ذلك بمتوسط الزخم (Δp/Δt) أو بالزخم اللحظي (dp/dt)، فإننا نواجه مشكلة، تكمن في ان المعادلة F = ma تعتبر أن الكتلة لا تتغير؛ فقط تتغير السرعة. وهذا ليس صحيحًا عالميًا، ولتوضيح ذلك بمزيد من التفصيل سنستعين بالمثالين التاليين:

الأول هو علم الصواريخ، حيث تفقد الصواريخ كتلتها بشكل كبير (احتراق الوقود الذي هو جزء من كتلة الصاروخ) أثناء تسارعه. وهنا في هذه الحالة تكون كلا من السرعة والكتلة تتغيران بمرور الوقت. عند حدوث نقصان أو زيادة في الكتلة، فإنها تؤثر على حركة الأشياء، وكيف تتغير هذه الحركة بمرور الوقت أيضًا. بدون رياضيات حساب التفاضل والتكامل والمعادلات التفاضلية، وبدون الفيزياء الخاصة بكيفية تصرف أشياء مثل هذه في الحياة الواقعية، سيكون حساب سلوك مركبة فضائية تعمل بالوقود أمرًا مستحيلًا.

والآخر هو علم النسبية الخاصة، والذي يصبح مهمًا عندما تتحرك الأشياء بالقرب من سرعة الضوء. إذا استخدمت معادلات نيوتن للحركة، والمعادلة F = ma لحساب كيفية تغير موضع الجسم وسرعته عند تطبيق قوة عليه، يمكنك حساب الظروف التي تؤدي إلى تجاوز الجسم لسرعة الضوء بشكل غير صحيح. ومع ذلك، إذا كنت تستخدم بدلاً من ذلك F = (dp/dt) كقانون القوة – بالطريقة التي كتبها نيوتن بنفسه – وطالما تتذكر استخدام الزخم النسبي (حيث تضيف عامل النسبية γ سيصبح القانون p = mγv)، ستجد أن قوانين النسبية الخاصة، بما في ذلك تمدد الوقت وتقلص الطول، تظهر جميعها بشكل طبيعي.

لقد تكهن الكثيرون، بناءً على هذه الملاحظة وحقيقة أن نيوتن كان من الممكن أن يكتب بسهولة F = ma بدلاً من F = (dp/dt)، ربما كان نيوتن قد توقع بالفعل النسبية الخاصة.

في كل مرة يتحرك فيها جسيم عبر الزمكان المنحني؛ في كل مرة يتعرض جسم ما إلى قوة دفع أو سحب أو تفاعل قوي مع جسم آخر؛ في كل مرة يقوم فيها النظام بأي شيء بخلاف البقاء في حالة سكون أو في حركة ثابتة لا تتغير، فإن فكرة القوى والتسارع ستدخل حيز التنفيذ. على الرغم من أن F = ma لنيوتن ليس صحيحًا عالميًا في جميع الظروف، فإن نطاق صحته الهائل، والرؤى المادية العميقة التي يحملها، والعلاقات المتداخلة التي يشفرها عبر الأنظمة البسيطة والمعقدة على حد سواء تضمن مكانته كواحدة من أهم المعادلات في كل الفيزياء. إذا كنت ستعلم معادلة فيزيائية واحدة لشخص ما، اجعلها معادلة القوة لنيوتن. بجهد معقول، يمكنك استخدامها ففهم أسرار الكون. ولهذا دائما ما أنصح أي شخص يرغب في التعمق في الفيزياء أن يبدأ من قانون نيوتن F=ma ويتعمق تدريجيا في مفهومه الأعمق.