محاضرة 15 فيزياء عامة (1) ميكانيكا نيوتن .. تمارين محلولة على وصف الحركة
Mechanics: Kinematics
Description of Motion
| (1) An athlete swims the length of a 50-m pool in 20 s and makes the return trip to the starting position in 22 s. Determine his average velocity in (a) the first half of the swim, (b) the second half of the swim, and (c) the round trip. |
| ارجع الى الكتاب المقرر المثال 2.5 صفحة 47 |
| (2) A particle moves along the x axis according to the equation x = 2t + 3t2, where x is in meters and t is in seconds. Calculate the instantaneous velocity and instantaneous acceleration at t = 3.0 s. |
| ارجع الى الكتاب المقرر المثال 2.7 صفحة 48 |
| (3) When struck by a club, a golf ball initially at rest acquires a speed of 31.0 m/s. If the ball is in contact with the club for 1.17 ms, what is the magnitude of the average acceleration of the ball? |
| We have vo = 0 v = 31m/s t = 1.17 ms = 1.17 x 10-3 s a = ?? |
from equation (2.11) page 50 we can find the average acceleration
a = 26500 m/s2
| (4) A railroad car is released from a locomotive on an incline. When the car reaches the bottom of the incline, it has a speed of 30 km/h, at which point it passes through a retarder track that slows it down. If the retarder track is 30 m long, what negative acceleration must it produce to stop the car? |
 We have from equation (2.16) page 51 we can find the average acceleration |
| (5) An astronaut standing on the moon drops a hammer, letting it fall 1.00 m to the surface. The lunar gravity produces a constant acceleration of magnitude 1.62 m/s2. Upon returning to Earth, the astronaut again drops the hammer, letting it fall to the ground from a height of 1.00 m with an acceleration of 9.80 m/s2. Compare the times of fall in the two situations. | ||
|
| (6) The Position of a particle along the x-axis is given by x=3t3-7t where x in meters and t in seconds. What is the average velocity of the particle during the interval from t=2sec to t=5sec? |
| ارجع الى الكتاب المقرر المثال 2.7 صفحة 48 |
| (7) A car makes a 200km trip at an average speed of 40km/h. A second car starting 1h later arrives at their mutual destination at the same time. What was the average speed of the second car? |
| ارجع الى الكتاب المقرر المثال 2.6 صفحة 48 |
| (8) A particle is moving with a velocity vo= 60m/s at t = 0. Between t = 0 and t =15s the velocity decreases uniformly to zero. What was the average acceleration during this 15s interval? What is the significance of the sign of your answer? |
| We have vo = 60m/s v = 0 t = 15 s a = ?? |
from equation (2.11) page 50 we can find the average acceleration
a = -4 m/s2
الإشارة السالبة للعجلة تدل على أن العجلة تباطئية تسبب نقصان السرعة.
| (9) A car traveling in a straight line has a velocity of 30m/s at some instant. Two seconds later its velocity is 25m/s. What is its average acceleration in this time interval? |
| We have vo = 30m/s v = 25 t = 2 s a = ?? |
from equation (2.11) page 50 we can find the average acceleration
a = -2.5 m/s2
| (10) A particle moving in a straight line has a velocity of 8m/s at t=0. Its velocity at t=20s is 20m/s. What is its average acceleration in this time interval? |
| We have vo = 8 m/s v = 20 t = 20 s a = ?? |
from equation (2.11) page 50 we can find the average acceleration
a = 0.6 m/s2
| (11) A car traveling initially at a speed of 60m/s is accelerated uniformaly to a speed 85m/s in 12s. How far does the car travel during the 12s interval? |
| We have vo = 60 m/s v = 85 t = 12 s x-xo = ?? |
يمكن استخدام المعادلات رقم (2.15) و (2.16) وهنا نحتاج إلى إيجاد قيمة العجلة باستخدام المعادلة رقم (2.11) ومن ثم التعويض في أحد المعادلتين لإيجاد الإزاحة.
كما يمكن استخدام المعادلة رقم (2.13) والتي تربط الإزاحة بالسرعة والزمن وبالتعويض نجد أن الإزاحة
x – xo = 870 m
| (12) A body moving with uniform acceleration has a velocity of 12cm/s when its coordinate is 3cm. If its x coordinate 2s later is -5cm, what is the magnitude of its acceleration? |
| ارجع الى الكتاب المقرر المثال 2.8 صفحة 52 |
| (13) The initial speed of a body is 5.2m/s. What is its speed after 2.5s if it (a) accelerates uniformaly at 3m/s2 and (b) accelerates uniformaly at -3m/s2. | ||
|
| (14) Two trains started 5 minutes apart. Starting from rest, each capable of maximum speed of 160km/h after uniformly accelerating over a distance of 2km. (a) What is the acceleration of each train? (b) How far ahead is the first train when the second one starts? (c) How far apart are they when they are both travelling at maximum speed? |
| (a) a = 0.5 m/s2 |
(b) d = 9.3 km
(c) d = 13 km
| (15) A ball is thrown directly downward with an initial velocity of 8m/s from a height of 30m. When does the ball strike the ground? |
| Free fall of the ball (motion in one dimension) We have استخدم المعادلة رقم (2.22) لإيجاد السرعة النهائية قبل الاصطدام بالأرض حيث تجد أن السرعة v = 25.5 m/s استخدم المعادلة رقم (2.19) لحساب الزمن المطلوب لوصول الجسم إلى الأرض وسيكون t = 1.8 s كما يمكنك استخدام المعادلة رقم (2.21) مباشرة لإيجاد الزمن وتجدر الاشارة هنا إلى أن نقطة الصفر اخذت على ارتفاع 30 متر من سطح الأرض لذا فإن المسافة النهائية عند سطح الأرض ستكون -30 والسرعة الإبتدائية vo=-30m/s |
| (16) A hot air balloon is traveling vertically upward at a constant speed of 5m/s. When it is 21m above the ground, a package is released from the balloon. (a) How long after being released is the package in the air? (b) What is the velocity of the package just before impact with the ground? (c) Repeat (a) and (b) for the case of the balloon descending at 5m/s. |
| فكرة السؤال هي أن الشق الأول (a) إلى الأعلى وعندما كان على ارتفاع 21 متر من سطح الأرض القيت حمولة من المنطاد إلى الأرض. المطلوب هو إيجاد كلا من الزمن اللازم للحمولة لتصل إلى الأرض وكذلك سرعة الحمولة قبل الاصطدام بالأرض. أما الشق الثاني من الصؤال (b) فإن المطلوب هو اعادة المطلوبين السابقين ولكن في حالة أن المنضاد يتحرك إلى الأسفل. |
تتحرك الحمولة الملقاة تحت تأثير عجلة الجاذبية الأرضية وفي بعد واحد. نعتبر نقطة الصفر عند المنطاد.
| descending We have | upward We have |
استخدم المعادلة رقم (2.21) مباشرة لإيجاد الزمن في حالة الصعود وحالة الهبوط للمنضاد بالتعويض عن القيم المعلومة كما هو موضح في الجدول أعلاه مع مراعاة الإشارة.
استخدم المعادلة رقم (2.19) لإيجاد السرعة النهائية للحالتين والتعويض عن الزمن في كل حالة.
| (17) A ball thrown vertically upward is caught by the thrower after 20s. Find (a) the initial velocity of the ball and (b) the maximum height it reaches. |
| يقوم شخص بقذف كرة إلى الأعلى بسرعة ما لتصل إلى ارتفاع معين ثم تعود إلى يده مرة أخرى بعد 20 ثانية هنا يجب أن نعلم أن سرعة الكرة الإبتدائية تساوي سرعة الكرة عندما تعود الكرة إلى يده. كما أن السرعة عند أقصى ارتفاع تساوي صفر حيث أنه عند أقصى ارتفاع يتحول اتجاه السرعة من الصعود إلى الهبوط. كما أن الزمن الكلي الـ 20 ثانية هو زمن صعود الكرة وزمن هبوطها وزمن الصعود = زمن الهبوط. At maximum height We have استخدم المعادلة رقم (2.19) لإيجاد السرعة الإبتدائية v = vo – gt استخدم المعادلة رقم (2.21) لإيجاد أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة y = yo + vot1 – 1/2 g t12
|
| (18) A stone falls from rest from the top of a high cliff. A second stone is thrown downward from the same height 2s later with an initial speed of 30m/s. If both stones hit the ground below simultaneously, how high is the cliff? |
| حيث أن الحجر الأول يستغرق زمن قدره t ليصل إلى الأرض فإن الجحر الثاني يحتاج إلى زمن قدره t-2 لأن الحجر الثاني اسقط بعد ثانيتين من إسقاط الحجر الأول وكلا الحجرين وصلا الأرض في نفس اللحظة (simultaneously). سنقوم بكتابة معادلتين لكل حجر ومن ثم حلاهما للحصول على ارتفاع الجبل. |
Stone (1)
y = yo + vyo t – 1/2 g t2
y = 0 + 0 – 1/2 g t2
y = – 5 t2 (1)
Stone (2)
y = yo + vyo t – 1/2 g t2
y = 0 – 30 (t-2) – 1/2 * 10 (t-2)2
y = – 5 t2 – 10t + 40 (2)
Solving equations (1) & (2) we get
t = 4 sec
y = – 100 m
| (19) At t=0, a particle moving in the xy plane with constant acceleration has a velocity of vo=3i – 2j at the origin. At t=3s, its velocity is v=9i+7j. Find (a) the acceleration of the particle and (b) its coordinates at any time t. |
| a = (v – vo) /t a = 2i + 3j a = 3.6 m/s2 |
| (20) The position vector of a particles varies in time according to the expressions r = (3i-6t2j) m. (a) Find expressions for the velocity and acceleration as a function of time. (b) Determine the particle’s position and velocity at t=1s. |
| r = (3i-6t2j) |
v = dr/dt = -12t j
a = dv/dt = -12j
r(t = 1s) = 3i – 6j
v(t=1s) = -12j
| (21) A student stands at the edge of a cliff and throws a stone horizontally over the edge with speed of 18m/s. The cliff is 50m above the ground. How long after being released does the stone strike the beach below the cliff? With what speed and angle of impact does it land? |
| حيث أن الحجر أطلق أفقيا أي انه يمتك سرعة ابتدائية في اتجاه محور x أما سرعته الابتدائية في محور y تساوي صفر وهنا الجسم سيتحرك في بعدين والمطلوب إيجاد زمن وصوله إلى الأرض (الشاطئ) وكذلك سرعته النهائية. vxo = vo cos0 = 18 m/s (a) time to reach the beach y = yo + vyo t – 1/2 g t2 -50 = 0 + 0 – 1/2 g t2 t = 3.16 sec (b) The final velocity السرعة النهائية للحجر عندما يصل إلى الأرض هي محصلة المركبة الرأسية والمركبة الأفقية للسرعة، ونعلم أن السرعة الأفقية ثابتة لأنها لا تتأثر بعجلة الجاذبية الأرضية. vx = vxo = 18 m/s vy = vyo sin 0 – gt vy = 0 – 10 * 3.16 = – 31.6 m/s الإشارة السالبة تدل على أن اتجاه السرعة الرأسية في اتجاه محور y السالب. v = 36.4 m/s |
| (22) A football kicked at an angle of 50o to the horizontal, travels a horizontal distance of 20m before hitting the ground. Find (a) the initial speed of the football, (b) the time it is in the air, and (c) the maximum height it reaches. |
 من معطيات السؤال نجد أن السرعة الابتدائية مجهولة وكذلك الزمن لذا نستخدم خاصية ان السرعة تساوي صفر عند أقصى ارتفاع يصل اليه الجسم كما في الشكل التوضيحي ويكون الزمن عند اقصى ارتفاع يساوي نصف الزمن اللازم للكرة لتصل إلى الأرض، لأن زمن التحليق يساوي زمن الهبوط. vo = ?? (a) The initial speed At maximum height We have vy = vo sin50 – g t1 Using the equation x = vo cos50 t (where t = 2t1) x = vo cos50 * 2vo sin50/10 x = vo2 cos50 * sin50/10 x = 0.098 vo2 vo = 14.3 m/s (b) The time it is in the air t = 2t1 = 2vo sin50/10 = 2.2 s (c) The maximum height y = yo + vo sin50 t1 – 1/2 g t12 y = 0 + 14.3 sin50 * 1.1 – 1/2 * 10 * (1.1)2 y = 6 m |
| (23) A projectile is fired in such a way that its horizontal range is equal to three times its maximum height. What is the angle of projection? |
| R = 3h R = vo cosθ 2t1 R = vo cosθ 2vosinθ/g R = 2vo cosθ sinθ/g h = vo2 sin2θ/2g h/R = 1/3 = sinθ/4cosθ θ = 53.1o |
| (24) Find the acceleration of a particle moving with a constant speed of 8m/s in a circle 2m in radius. |
| بالتعويض المباشر في معادلة الحركة على مسار دائري (معادلة رقم 2.39 صفحة 70) a = 32m/s2 |
| (25) The speed of a particle moving in a circle 2m in radius increases at the constant rate of 3m/s2. At some instant, the magnitude of the total acceleration is 5m/s2. At this instant find (a) the centripetal acceleration of the particle and (b) its speed. |
| r = 2m at = 3 m/s2 a = 5 m/s2 ar = ?? v = ?? |
since the total acceleration a2 = at2 + ar2
hence
ar2 = a2 – at2 = 25 – 9 = 12
ar = 4 m/s2
since ar = v2/r
then
v = 2.8 m/s
| (26) A student swings a ball attached to the end of a string 0.6m in length in a vertical circle. The speed of the ball is 4.3m/s at its highest point and 6.5m/s at its lowest point. Find the acceleration of the ball at (a) its highest point and (b) its lowest point. |
| بالتعويض المباشر في معادلة الحركة على مسار دائري (معادلة رقم 2.39 صفحة 70) للسرعتين (a) -30.8j m/s2 |
