page contents
محاضرات الفيزياء الحديثة

محاضرة 13 فيزياء حديثة

معادلة شرودينجر Schrödinger Equation

معادلة شرودينجر Schrödinger Equation: نعلم أن أي موجة تنتشر في اتجاه واحد x يمكن وصفها من خلال المعادلة التفاضلية التالية:




معادلة شرودينجر Schrödinger Equation            (1)

حيث F تمثل الدالة الموجية التي تعتمد على المكان x والزمن t.  والسرعة vph2 تمثل سرعة الموجة (phase speed), فإذا كنا نتحدث على موجة صوتية مثلاً تنتشر في الهواء فإن الدالة الموجية F هي مقدار التغير في التضاغط والتخلخل في جزيئات الهواء والسرعة vph هي سرعة الصوت في الهواء وإذا كانت موجة ضوء فإن الدالة الموجية F هي التغير في المجال الكهربي والمغناطيسي والسرعة هي سرعة الضوء.

في حالة وصف جسيم بدالة موجية فإن مربع الدالة الموجية يعبر عن احتمالية رصد الجسيم في الفراغ في وحدة الزمن. وسوف نرمز لهذه الدالة الموجية بالرمز Ψ.

وحيث أن الدالة الموجية متغيرة في كل من المكان والزمان لذا سنفترض أنها تأخذ الصورة التالية:

Ψ(x,t) = ψ(x) f(t)      (2)

عند صياغة معادلة شرودنجر نفترض نظام مكون من جسيم يتحرك في بعد واحد x وينتشر كموجة وان هذا الجسيم يتفاعل مع ما يحيط به ومرتبط به من خلال دالة الجهد V وله طاقة كلية E ثابتة وسوف نفترض أن التردد معروف بدقة f=h/E لذا فإن الدالة f تكون دالة جيبية على النحو التالي:

f(t) = cos 2πf t       (3)

بالتعويض في المعادلة (1) بالدالة الموجية في المعادلة (2) نحصل على

معادلة شرودينجر Schrödinger Equation

معادلة شرودينجر Schrödinger Equation

بالتعويض في المعادلة (1) نحصل على

معادلة شرودينجر Schrödinger Equation

معادلة شرودينجر Schrödinger Equation

معادلة شرودينجر Schrödinger Equation

معادلة شرودينجر Schrödinger Equation      (4)

إذا كان الجسيم وكتلته m موجود في وسط له جهد V فتكون الطاقة الكلية E للجسيم والوسط هو مجموع طاقة الحركة Ek وطاقة الوضع الممثلة في الجهد V.

معادلة شرودينجر Schrödinger Equation

    معادلة شرودينجر Schrödinger Equation        (5)

بالتعويض في المعادلة (4) من المعادلة (5)

معادلة شرودينجر Schrödinger Equation       (6)

وهذه معادلة شرودينجر في بعد واحد والتي تفترض أن الجسيم ينتشر على شكل موجة وتسمى بالمعادلة الموجية وحيث أن الجسيم يتفاعل مع المحيط الموجود به من خلال الجهد V.

باستخدام معادلة شرودينجر على جسيم مرتبط بجهد V أي أن القوة التي يؤثر بها الوسط على الجسيم المرتبط معروفة يمكن إيجاد الدالة الموجية ومستويات الطاقة المسموحة وكمية الحركة.  وحيث أن مربع الدالة الموجية يعبر عن احتمالية تواجد الجسيم في مكان x في وحدة الزمن فإن الحل المقبول للدالة الموجية ψ يجب أن يحقق الشروط الحدية التي يفرضها الجهد V وهذه الشروط الحدية سوف تؤدي إلى تكميم الطاقة للجسيم أي أن تكون هناك قيم محدد فقط للطاقة مسموحة.

ولتوضيح هذا سوف نطبق معادلة شرودينجر على المثال السابق لجسيم في صندوق جهد لانهائي.




جسيم في صندوق جهد لانهائي ذو بعد واحد Particle in one dimensional potential well of infinite height

من أسهل التطبيقات على معادلة شرودينجر هو حل مشكلة جسيم موجود داخل صندوق ذو بعد واحد L وجدار الصندوق تمثل جهد V لانهائي بحيث لا يمكن للجسيم ان يفلت من هذا الجهد وبالتالي فإن الجسيم سيحدد وجوده في المسافة بين x=0 و x=L.  حيث يتحرك بحرية في هذا المدى بجهد يساوي صفر وتكون التصادمات بين الجسيم وجدار الصندوق هي تصادمات مرنة لا يفقد فيها الجسيم طاقة.

الوصف الكمي لجسيم محصور في صندوق The Quantum description of a confined particle

بالتعويض عن قيمة الجهد V=0 في معادلة شرودنجر نحصل على

معادلة شرودينجر Schrödinger Equation      (7)

بإعادة ترتيب المعادلة على الشكل التالي:

معادلة شرودينجر Schrödinger Equation         (8)

حيث أن

معادلة شرودينجر Schrödinger Equation

حيث أن الصندوق يمثل الجهد المطبق على الجسيم واعتبر أن جدار الصندوق ذات ارتفاع لانهائي بحيث لا يمكن للجسيم أن يتواجد خارج الصندوق لذا فإن الشروط الحدية هي:

V(x) = 0  for    0 < x < L

V(x) = ∞ for    0 > x < L

y(x) = 0  for    0 ≥ x ≥ L

والحل الذي يحقق المعادلة التفاضلية (7) يجب أن يكون متوافق مع الشروط الحدية السابقة أي أن

ψ(0) = 0     &       ψ(L) = 0

والحل المناسب الذي يحقق تلك الشروط هو

ψ(x) = A sin Bx

نلاحظ أن الشرط ψ(0) = 0  محقق، ولكي يصبح الشرط الثاني ψ(L) = 0  محقق فإن BL=nπ حيث n عدد صحيح وبالتعويض عن B نحصل على

معادلة شرودينجر Schrödinger Equation

وعليه تكون الطاقة للجسيم داخل صندوق الجهد هو

معادلة شرودينجر Schrödinger Equation

وتكون الدالة الموجية له هي

معادلة شرودينجر Schrödinger Equation

وهذه نفس النتائج التي حصلنا عليها في السابق والتي توضح أن الطاقة المسموحة للجسيم مكممة.

الوسوم

الدكتور حازم فلاح سكيك

د. حازم فلاح سكيك استاذ الفيزياء المشارك في قسم الفيزياء في جامعة الازهر – غزة | مؤسس شبكة الفيزياء التعليمية | واكاديمية الفيزياء للتعليم الالكتروني | ومنتدى الفيزياء التعليمي

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

هذا الموقع يستخدم Akismet للحدّ من التعليقات المزعجة والغير مرغوبة. تعرّف على كيفية معالجة بيانات تعليقك.

إغلاق
إغلاق