محاضرة 5 فيزياء عامة (2) كهربية ساكنة

4.6 Conductors in electrostatic equilibrium

A good electrical conductor, such as copper, contains charges (electrons) that are free to move within the material.  When there is no net motion of charges within the conductor, the conductor is in electrostatic equilibrium.

Conductor in electrostatic equilibrium has the following properties:

1. Any excess charge on an isolated conductor must reside entirely on its surface.(Explain why?) The answer is when an excess charge is placed on a conductor, it will set-up electric field inside the conductor.  These fields act on the charge carriers of the conductor (electrons) and cause them to move i.e. current flow inside the conductor.  These currents redistribute the excess charge on the surface in such away that the internal electric fields reduced to become zero and the currents stop, and the electrostatic conditions restore.

2. The electric field is zero everywhere inside the conductor. (Explain why?) Same reason as above

In figure 4.11 it shows a conducting slab in an external electric field E.  The charges induced on the surface of the slab produce an electric field, which opposes the external field, giving a resultant field of zero in the conductor.

Steps which should be followed in solving problems

1. The gaussian surface should be chosen to have the same symmetry as the charge distribution.
2. The dimensions of the surface must be such that the surface includes the point where the electric field is to be calculated.
3. From the symmetry of the charge distribution, determine the direction of the electric field and the surface area vector dA, over the region of the gaussian surface.
4. Write E.dA as E dA cosθ and divide the surface into separate regions if necessary.
5. The total charge enclosed by the gaussian surface is dq = òdq, which is represented in terms of the charge density (dq = λdx for line of charge, dq = σdA for a surface of charge, dq = ρdv for a volume of charge).

4.7 Applications of Gauss’s law

كما ذكرنا سابقا فإن قانون جاوس يطبق على توزيع متصل من الشحنة، وهذا التوزيع إما أنيكون توزيعاً طولياً أو توزيعاً سطحياً أو توزيعاً حجمياً.  يوجد على كل حالة مثال محلول في الكتاب سنكتفي هنا بذكر بعض النقاط الهامة.

على سبيل المثال إذا أردنا حساب المجال الكهربي عند نقطة تبعد مسافة عن سلك مشحونكما في الشكل 4.12، هنا في هذه الحالة الشحنة موزعة بطريقة متصلة، وغالبا نفترض أن توزيع الشحنة منتظم ويعطى بكثافة التوزيع (λ(C/m، ولحل مثل هذه المشكلة نقسم السلك إلى عناصر صغيرة طول كلا منها dx ونحسب المجال dE الناشئ عند نقطة (p)

Figure 4.12

ومن التماثل نجد أن المركبات الأفقية تتلاشى والمحصلة تكون في اتجاه المركبة الرأسية التي في اتجاه y

            dE_y = dE cosθ                 E_y =  = 

            E  = 2     →    

من الشكل الهندسي يمكن التعويض عن المتغير x والمتغير dx كما يلي:

            x = y tanθ          &         dx = y sec² dθ

            E =  

            E = 

لاشك أنك لاحظت صعوبة الحل باستخدام قانون كولوم في حالة التوزيع المتصل للشحنة، لذلك سندرس قانون جاوس الذي يسهل الحل كثيراً في مثل هذه الحالات والتي بها درجة عالية من التماثل.

Gauss’s law can be used to calculate the electric field if the symmetry of the charge distribution is high.  Here we concentrate in three different ways of charge distribution

A linear charge distribution

In figure 4.13 calculate the electric field at a distance r from a uniform positive line charge of infinite length whose charge per unit length is λ=constant.

Figure 4.13

The electric field E is perpendicular to the line of charge and directed outward.  Therefore for symmetry we select a cylindrical gaussian surface of radius r and length L.

The electric field is constant in magnitude and perpendicular to the surface.

The flux through the end of the gaussian cylinder is zero since E is parallel to the surface.

 The total charge inside the gaussian surface is lL.

Applying Gauss law we get

                                       →           →

                   (4.7)

نلاحظ هنا أنه باستخدام قانون جاوس سنحصل على نفس النتيجة التي توصلنا لها بتطبيق قانون كولوم وبطريقة أسهل.

A surface charge distribution

In figure 4.4 calculate the electric field due to non-conducting, infinite plane with uniform charge per unit area s.

Figure 4.14

The electric field E is constant in magnitude and perpendicular to the plane charge and directed outward for both surfaces of the plane.  Therefore for symmetry we select a cylindrical gaussian surface with its axis is perpendicular to the plane, each end of the gaussian surface has area A and are equidistance from the plane.

The flux through the end of the gaussian cylinder is EA since E is perpendicular to the surface.

The total electric flux from both ends of the gaussian surface will be 2EA.

Applying Gauss law we get

    →  

            (4.8)

An insulated conductor.

ذكرنا سابقا أن الشحنة توزع على سطح الموصل فقط، وبالتالي فإن قيمة المجال داخل مادة الموصل تساوى صفراً، وقيمة المجال خارج الموصل تساوى

                                         (4.9)

لاحظ هنا أن المجال في حالة الموصل يساوى ضعف قيمة المجال في حالة السطح اللانهائي المشحون، وذلك لأن خطوط المجال تخرج من السطحين في حالة السطح غير الموصل، بينما كل خطوط المجال تخرج من السطح الخارجي في حالة الموصل.

Figure 4.15

في الشكل الموضح أعلاه 4.15 نلاحظ أن الوجه الأمامي لسطح جاوس له فيض حيث أن الشحنة تستقر على السطح الخارجي، بينما يكون الفيض مساوياً للصفر للسطح الخلفي الذي يخترق الموصل وذلك لأن الشحنة داخل الموصل تساوي صفراً.

A volume charge distribution

In figure 4.16 shows an insulating sphere of radius a has a uniform charge density rand a total charge Q.

1) Find the electric field at point outside the sphere (r>a)

2) Find the electric field at point inside the sphere (r<a)

 For r>a

Figure 4.16

We select a spherical gaussian surface of radius r, concentric with the charge sphere where r>a.  The electric field E is perpendicular to the gaussian surface as shown in figure 4.16.  Applying Gauss law we get

      →    

       (for r>a)                              (4.10)

Note that the result is identical to appoint charge.

For r<a

Figure 4.17

We select a spherical gaussian surface of radius r, concentric with the charge sphere where r<a.  The electric field E is perpendicular to the gaussian surface as shown in figure 4.17.  Applying Gauss law we get

It is important at this point to see that the charge inside the gaussian surface of volume V` is less than the total charge Q.  To calculate the charge q<sub>in</sub>, we use q<sub>in</sub>=rV`,  where V`=4/3πr³.  Therefore,

q_in =rV`=r((4/3)πr³)                      (4.11)

          (4.12)

     since      

       (for r<a)                              (4.13)

Note that the electric field when r<a is proportional to r, and when r>a the electric field is proportional to 1/r².