محاضرة 8 فيزياء عامة (2) كهربية ساكنة أمثلة محلولة عن المجال الكهربي
أمثلة محلولة عن المجال الكهربي
Example 3.1
Find the electric field at point p in figure 3.4 due to the charges shown.
Solution
Ex = E1 – E2 = -36×104N/C
Ey = E3 = 28.8×104N/C
Ep = Ö(36×104)2+(28.8×104)2 = 46.1N/C
θ = 141o
Figure 3.5 Shows the resultant electric field
Example 3.2
Find the electric field due to electric dipole along x-axis at point p, which is a distance r from the origin, then assume r>>a
The electric dipole is positive charge and negative charge of equal magnitude placed a distance 2a apart as shown in figure 3.6
Solution
المجال الكلي عند النقطة p هو محصلة المجالين E1 الناتج عن الشحنة q1 والمجال E2 الناتج عن الشحنة q2 أي أن والنقطة المراد إيجاد المجال عندها.
وحيث أن النقطة p تبعد عن الشحنتين بنفس المقدار، والشحنتان متساويتان إذاً المجالان متساويان وقيمة المجال تعطى بالعلاقة
لاحظ هنا أن المسافة الفاصلة هي ما بين الشحنة والنقطة المراد إيجاد المجال عندها.
نحلل متجه المجال إلى مركبتين كما في الشكل أعلاه
Ex = E1 sinθ – E2 sinθ
Ey = E1 cosθ + E2 cosθ = 2E1 cosθ
Ep = 2E1 cosθ
from the Figure
(3.5)
The direction of the electric field in the -ve y-axis.
The quantity 2aq is called the electric dipole momentum (P) and has a direction from the -ve charge to the +ve charge
(b) when r>>a
(3.6)
يتضح مما سبق أن المجال الكهربي الناشئ عن electric dipole عند نقطة واقعة على العمود المنصف بين الشحنتين يكون اتجاهه في عكس اتجاهelectric dipole momentum وبالنسبة للنقطة البعيدة عن electric dipoleفإن المجال يتناسب عكسيا مع مكعب المسافة، وهذا يعنى أن تناقص المجال مع المسافة يكون أكبر منه في حالة شحنة واحدة فقط.
Example 3.3
A positive point charge q of mass m is released from rest in a uniform electric field E directed along the x-axis as shown in figure 3.8, describe its motion.
Solution
The acceleration is given by
a = qE/m
Since the motion of the particle in one dimension, then we can apply the equations of kinematics in one dimension
x–xo= v0t+ ½ at2 v = v0 + at v2=vo2 + 2a(x–xo)
Taking xo = 0 and v0 = 0
x = ½ at2 = (qE/2m) t2
v = at = (qE/m) t
v2 =2ax (2qE/m)x (3.7)
Example 3.4
In the above example suppose that a negative charged particle is projected horizontally into the uniform field with an initial velocity vo as shown in figure 3.9.
Figure 3.9
Solution
Since the direction of electric field E in the y direction, and the charge is negative, then the acceleration of charge is in the direction of -y.
a = –qE/m
The motion of the charge is in two dimension with constant acceleration, with vxo = vo & vyo = 0
The components of velocity after time t are given by
vx = vo =constant
vy = at = – (qE/m) t
The coordinate of the charge after time t are given by
x = vot
y = ½ at2 = – 1/2 (qE/m) t2
Eliminating t we get
(3.8)
we see that y is proportional to x2. Hence, the trajectory is parabola.
Example 3.5
Find the electric field due to electric dipole shown in figure 3.10 along x-axis at point p which is a distance r from the origin. then assume r>>a
Solution
When x>>a then
(3.9)
لاحظ الإجابة النهائية عندما تكون x أكبر كثيرا من المسافة 2a حيث يتناسب المجال عكسيا مع مكعب المسافة.
Example 3.6
What is the electric field in the lower left corner of the square as shown in figure 3.11? Assume that q = 1×10-7C and a = 5cm.
Solution
First we assign number to the charges (1, 2, 3, 4) and then determine the direction of the electric field at the point p due to the charges.
Evaluate the value of E1, E2, & E3
E1 = 3.6×105 N/C,
E2 = 1.8 x 105 N/C,
E3 = 7.2 x 105 N/C
Since the resultant electric field is the vector additions of all the fields i.e.
We find the vector E2 need analysis to two components
E2x = E2 cos45
E2y = E2 sin45
Ex = E3 – E2cos45 = 7.2×105 – 1.8 x 105 cos45 = 6 x 105 N/C
Ey = –E1 – E2sin45 = -3.6×105 – 1.8 x 105 sin45 = – 4.8 x 105 N/C
Example 3.7
In figure 3.12 shown, locate the point at which the electric field is zero? Assume a = 50cm
Figure 3.12
Solution
To locate the points at which the electric field is zero (E=0), we shall try all the possibilities, assume the points S, V, P and find the direction of E1 and E2at each point due to the charges q1 and q2.
The resultant electric field is zero only when E1 and E2 are equal in magnitude and opposite in direction.
At the point S E1 in the same direction of E2 therefore E cannot be zero in between the two charges.
At the point V the direction of E1 is opposite to the direction of E2, but the magnitude could not be equal (can you find the reason?)
At the point P the direction of E1 and E2 are in opposite to each other and the magnitude can be equal
E1 = E2
d = 30cm
لاحظ هنا أنه في حالة الشحنتين المتشابهتين فإن النقطة التي ينعدم عندها المجال تكون بين الشحنتين، أما إذا كانت الشحنتان مختلفتين في الإشارة فإنها تكون خارج إحدى الشحنتين وعلى الخط الواصل بينهما وبالقرب من الشحنة الأصغر.
Example 3.8
A charged cord ball of mass 1g is suspended on a light string in the presence of a uniform electric field as in figure 3.13. When E=(3i+5j)x105N/C, the ball is in equilibrium at θ=37o. Find (a) the charge on the ball and (b) the tension in the string.
Solution
حيث أن الكرة مشحونة بشحنة موجبة فإن القوة الكهربية المؤثرة على الكرة المشحونة في اتجاه المجال الكهربي.
كما أن الكرة المشحونة في حالة اتزان فإن محصلة القوى المؤثرة على الكرة ستكون صفر. بتطبيق قانون نيوتن الثاني åF=ma على مركبات x و y.
Ex = 3×105N/C Ey = 5jx105N/C
∑F = T+qE+Fg = 0
∑Fx = qEx – T sin 37 = 0 (1)
∑Fy = qEy + T cos 37 – mg= 0 (2)
Substitute T from equation (1) into equation (2)
To find the tension we substitute for q in equation (1)