محاضرة 7 فيزياء الليزر اتساع وشكل الخطوط الطيفية
اتساع وشكل الخطوط الطيفية Width and Shape of Spectral lines
يتولد الليزر داخل المادة عند اطوال موجية محددة تساوي احد الاطوال الموجية لخطوط الطيف المنبعثة من المادة. ولتمثيل خطوط الطيف نرسم شدة الاشعاع الكهرومغناطيسي المنبعث من المادة كدالة في التردد أو الطول الموجي.
Emission line is described by plotting spontaneous emission radiation intensity as a function of frequency (or wavelength), for the specific lasing transition.
افترضنا سابقاً أن الطيف المنبعث من الذرة المثارة يرتكز فقط عند تردد وحيد وهو no والذي يدعى Resonance Frequency. ولكن في الحقيقة فإن عمليتي الامتصاص والانبعاث لا تحدثان عند تردد وحيد فقط ولكن عند حزمة من الترددات التي تشكل اتساع في الخط الطيفي Dn وهذا الاتساع في الخط الطيفي emission line يعتمد على الكثير من العوامل سنذكرها بالتفصيل خلال هذه المحاضرة.
المقصود بمصطلح أحادي اللون Monochromatic
نظريا فإن مصطلح أحادي اللون يعني طول موجي محدد λ0 ، وعند رسم منحني التغير في شدة الطيف المنبعث للمستويين طاقة مع الطول الموجي ينتج خط يعرف بالخط الطيفي spectral line كما في الشكل الموضح على الجانب الأيمن حيث أن شدة الأشعة عند اطوال موجية خارج λ0 تساوي صفر. أما في الحقيقة فإن عند تمثيل العلاقة بين شدة الطيف المنبعث والطول الموجي نلاحظ أن للخط الطيفي اتساع معين مقداره Δλ يعرف بـ spectral width بحيث تكون اعظم قيمة عند λ0 وتتناقص على الأطوال الموجية المجاورة بجوار λ0 كما في الشكل على الجانب الأيسر من الشكل التوضيحي.
Width of spectral line (laser radiation) in Theory and in Reality
وللتعبير عن شكل واتساع الخط الطيفي يمكن استخدام العديد من الطرق ولكن سنستخدم الطريقة الاكثر شيوعاً وهي الاتساع عند منتصف القمة أي Full Width at Half Maximum FWHM كما في الشكل التالي:
FWHM = Full Width at Half Maximum
Broadening the of emission line
Certain mechanisms are responsible for broadening the linewidth of a laser:
- Natural Broadening (Lifetime Broadening)
- Doppler Broadening
- Collision Broadening (Pressure Broadening)
سنقوم بدراسة كل عامل بالتفصيل لتوضيح تأثيره على اتساع الخط الطيفي
(1) Natural Broadening (Lifetime Broadening)
لقد سلمنا بأن مستويات الطاقة (0,1) التي تعاملنا معها بأنها حادة تماماً أي أن قيمة اللاحتمية (الشك) يساوي صفر ΔE = 0 لكل منهما، وهذا يشكل تناقض مع مبدأ هيزنبرج للشك حيث أن من مبدأ الشك فإن الذرة المثارة إلى المستوى E1 يجب ان تبقى زمن لانهائي حتى يكون الشك في تحديد مستوى الطاقة E1 يساوي صفر.
Heisenberg uncertainty principle:
ΔE*Δt > h
ΔE = h* Δν
Δn > 1/ Δt
Numerical examples:
Δt = 10-8 [s] = = > Δν = 108 [Hz]
Δt = 10-4 [s] = = > Δν = 104 [Hz]
The longer the specific energy level transition lifetime, the narrower is its linewidth Δν.
نعلم أن الزمن الذي تبقى فيه الذرة في الحالة المثارة غير محدد بشكل لانهائي. فإذا اثيرت ذرة إلى مستوي طاقة ما فسوف تبقى فيه فترة زمنية محددة ثم تعود إلى المستوى الارضي للطاقة Ground level وتطلق فوتونات.
Emission line between narrow (ideal) energy levels
وللتغلب على هذا التناقض بين مبدأ الشك والعمر المحدود لبقاء الذرة مثارة نفرض أن مستويات الطاقة لها اتساع وأن الذرات تتوزع باحتمالية أكبر ما يمكن عند التردد νo كما في الشكل الموضح، ولذلك فإن احتمالية الانتقال ν اقل من احتماية ν21 لان احتمالية توزيع الذرات في منتصف مستوى حزمة الطاقة اكبر ما يمكن.
Emission line between wide (real) energy levels
باخذ متوسط عمر المستوى Average life time τ لمستوى الطاقة كمقياس للشك في الزمن Δτ.
ويمكن تقدير اتساع الخط الطيفي نتيجة الاتساع الطبيعي Natural Broadening لمستوي طاقة i بالمعادلة التالية:
Δνi = 1/2πτi
Where as Δνi = 0 for the ground state since τi=∞. The upper state (excited state) have life time in the range of 10-6-10-9 sec.
In the case of both levels involving the transition are broadened then the line width is given by
Δν21 =Δν1 +Δν2
The life time of an excited state is the inverse of the spontaneous emission probability (A21)
τ = 1/A21
In general case τ = 1/∑A2i
ولاثبات أن اتساع الخط الطيفي نتيجة Natural Broadening
Δνi = 1/2πti
نتبع الطريقة التالية:
نفترض كتلة تحمل شحنة سالبة مقدارها e (شحنة الكترون) مرتبطة كما في الشكل بزنبرك وتتذبذب بتردد resonance frequency ω. اذا اعطيت للكتلة المشحونة ازاحة صغيرة x من وضع الاتزان فإن اشعاع كهرومغناطيسي ينطلق نتيجة لتذبذب الكتلة المشحونة كما نعلم من النظرية الكهرومغناطيسية والتي تشير إلى أن الشحنة المعجلة تطلق اشعاع كهرومغناطيسي. وحيث اننا افترضنا ان الكتلة المشحونة مرتبطة بزنبرك فإنه يعمل على اخماد Damping الحركة التوافقية مما يؤدى إلى اضمحلال سعة الذبذبة كما في الشكل الموضح.
معادلة الحركة للنموذج السابق هي معادلة حركة توافقية مخمدة Damped oscillatory motion
وحل هذه المعادلة التفاضلية هو
ويمكن كتابتها في صورة مشابهة لمعادلة الحركة التوافقية البسيطة مع الاخذ في عين الاعتبار أن سعة الاهتزازة Amplitude في هذه الحالة هو دالة اسية في الزمن
= 
& ωo = 2πνo
where g is called damping rate and its unit is s-1
and ωo is the resonance angular frequency
وباستخدام تحليل فوريه Fourier analysis أن نحصل على دالة توزيع الترددات التي تعطي احتمالية وجود تردد w كما في المعادلة التالية:
وبتمثيل المعادلة السابقة بيانياً نحصل على الشكل التالي:
حيث يوضح الشكل السابق ان أكبر احتمالية لحدوث انبعاث عند التردد ωo وذلك لأن شدة الانبعاث أكبر مايمكن وتقل الاحتمالية كلما بعدنا عن التردد ωo
At the line center ω = ωo, g(ωo) = 2/πg
At half height
نحصل على أن
من الشكل السابق نستنتج أن
Δω FWHM = 2 d ω = g
Δνn = g/2π
بالتعويض نحصل على
وحيث أننا نقيس عمليا التردد إذا
Lorentzian function
Width of spectral line Δνn = g/2π
The damping rate g is related to the half intensity line width Δνn, and since has a unit of s-1, then g = 1/τi
Narrow Δν associated with low damping or longer lifetime
Broad Δν associated with high damping or shorter lifetime
Δνi = 1/2πti
دالة تعطي احتمالية حدوث الانتقال عند تردد ما. و Δν هي منتصف القيمة العظمى للأحتمالية وتسمى اتساع الخط الطيفي
Summary
Natural Broadening
| Width of spectral line due to natural broadening | Shape of spectral line due to natural broadening |
| Δνi = 1/2πτi | |
