محاضرة 6 فيزياء الليزر علاقات اينشتاين The Einstein Relation

ذكرنا سابقاً أن العلم اينشتين في عام 1917 وضع الاساس النظري لعمل الليزر من خلال دراسة تفاعل الطاقة الكهرومغناطيسية Electromagnetic Radiation مع المادة Matter وذلك من خلال العمليات الإنتقالية الثلاثة التالية:

Absorption process

Spontaneous Emission

Stimulated Emission

افترض اينشتين أن الذرات المكونة للمادة موزعة على مستويين للطاقة هما E₀ , E₁  حيث أن مستوى الطاقة E₀ يعرف باسم Ground State أما مستوى الطاقة E₁ فيعرف بـ Excited State. الانتقالات الثلاثة السابقة تحدث في المادة بين مستويي الطاقة عند أي درجة حرارة وهذا ما يعرف بالاتزان الحراري Thermal Equilibrium. 

الشكل التالي يوضح مستويي الطاقة وتأثير كل عملية انتقال علي الذرة والاشعاع الكهرومغناطيسي.

Stimulated Absorption تكون الذرة في المستوى الأول وتنتقل إلى المستوي الثاني بمعدل B₁₂

Spontaneous Emission تكون الذرة في المستوى الثاني وتنتقل إلى المستوى الأول بمعدل A₂₁

Stimulated Emission تكون الذرة في المستوى الثاني وتنتقل إلى المستوى الأول بمعدل B₂₁

Note: (The terms “excited atoms”, “excited states”, and “excited electrons” are used here with no distinction)

لاحظ أنه عندما يكون انبعاث الفوتونات قليل فإن الانبعاث يكون عشوائي وبزيادة معدل الفوتونات ننتقل إلى حالة الانبعاث الاستحثاثي

تعرف المعاملات A₂₁ & B₁₂ & B₂₁ بمعاملات اينشتين Einstein Coefficients وهي التي تعطينا فكرة جيدة عن احتمالية حدوث انتقال بين مستويات الطاقة.  وسنقوم بايجاد العلاقات التي تربط هذه المعاملات بعضها ببعض حيث أن الانتقالات الثلاثة تحصل في المادة بصورة مستمرة وبمعدل ثابت لكل منها عند ثبوت درجة الحرارة أي في حالة الاتزن الحراري. وبمعرفة معامل من المعاملات الثلاثة يمكن حساب المعاملات الأخرى.

Population at thermal equilibrium

إن العلاقة بين تعداد الذرات في مستويات الطاقة عند الاتزان الحراري توصف بمعادلة ماكسويل بولتزمان للتوزيع الاحصائي Maxwell-Boltzman Law.

Population Numbers at “Normal Population”

Where T is the temperature in Kelvin and there is a thermal equilibrium at T, g is the statistical weight which represent the different ways of distribution of atoms all have the same energy (degeneracy).

Example:
Calculate the ratio of the population numbers (N₁, N₂) for the two energy levels E₂and E₁ when the material is at room temperature (300⁰K), and the difference between the energy levels is 0.5 [eV]. What is the wavelength (l) of a photon which will be emitted in the transition from E₂ to E₁?

Solution:
When substituting the numbers in the equation, we get:

= 4 * 10^-9

This means that at room temperature, for every 1,000,000,000 atoms at the ground level (E₁), there are 4 atoms in the excited state (E₂) !!!

To calculate the wavelength:

This wavelength is in the Near Infra-Red (NIR) spectrum.

The Rate Equations for the Absorption, Spontaneous Emission and Stimulated Emission

سنقوم في هذه المرحلة بدراسة تأثير كل عملية من العمليات الانتقالية الثلاث على معدل تغير تعداد الذرات N₁   في مستوي الطاقة المثار E₁ وذلك في حالة الاتزان الحراري  dN₁/dt، لذا سنفترض مجموعة من الذرات موزعة على مستويين للطاقة E₀ , E₁

الانبعاث التلقائي Spontaneous Emission

تعتمد عملية الانبعاث التلقائي على تعداد المستوي E₁ أي كلما ازداد N₁ كلما زادت عملية الانبعاث التلقائي، وكذلك يعتمد هذا الانتقال على المعامل A₁₀ الذي يعبر على احتمالية حدوث الانبعاث التلقائي.  يكون معدل التغير في تعداد المستوى E₁ بالنسبة للزمن بالسالب لأن كلما زاد معدل التغير كلما نقصت N₁.  ويمكن التعبير عن ذلك بالمعادلة التالية:

           dN₁/dt = – A₁₀ N₁                          (1)

الامتصاص Stimulated Absorption

تعتمد عملية الامتصاص على تعداد المستوي E₀ أي كلما ازداد N₀ كلما زادت عملية الامتصاص ، وكذلك يعتمد هذا الانتقال على المعامل B₀₁ الذي يعبر على احتمالية حدوث عملية الامتصاص .  يكون معدل التغير في تعداد المستوى E₁ بالنسبة للزمن بالموجب لأن كلما زاد معدل التغير كلما زاد N₁.  وحيث أن عملية الامتصاص تحدث اذا توفر Photon ذو طاقة تساوي فرق الطاقة بين المستويين E₁ و E₀ أي أن

hn = (ΔE) = E₂-E₁

وللتعبير عن مدى تحقق المعادلة السابقة في عملية الامتصاص فإننا نعبر عنها بكثافة الاشعاع بالدالة ρ كمتغير في التردد Energy density of radiation  والتي تعطي مدى احتمالية وجود فوتونات عند تردد ν

 ويمكن التعبير تأثير عملية الامتصاص على تغير تعداد المستوى E₁ بالمعادلة التالية:

           dN₁/dt = + B₀₁ N₀ ρ(ν)               (2)

الانبعاث الاستحثاثي Stimulated Emission

تعتمد عملية الانبعاث الاستحثاثي على تعداد المستوي E₁ أي كلما ازداد N₁ كلما زادت عملية الانبعاث الاستحثاثي ، وكذلك يعتمد هذا الانتقال على المعامل B₁₀ الذي يعبر على احتمالية حدوث عملية الانبعاث الاستحثاثي.  يكون معدل التغير في تعداد المستوى E₁ بالنسبة للزمن بالسالب لأن كلما زاد معدل التغير كلما قل N₁.  وحيث أن عملية الانبعاث الاستحثاثي تحدث اذا توفر Photon ذو طاقة تساوي فرق الطاقة بين المستويين E₁ و E₀ أي أن

hν = (ΔE) = E₂-E₁

وللتعبير عن مدى تحقق المعادلة السابقة في عملية الانبعاث الاستحثاثي فإننا نعبر عنها بكثافة الاشعاع بالدالة ρ كمتغير في التردد Energy density of radiation  والتي تعطي مدى احتمالية وجود فوتونات عند تردد ν

 ويمكن التعبير تأثير عملية الانبعاث الاستحثاثي على تغير تعداد المستوى E₁ بالمعادلة التالية:

            dN₁/dt = – B₁₀ N₁ ρ(ν)               (3)

المعادلات الثلاثة السابقة الذكر تمثل الحالات المختلفة التي يمكن من خلالها أن تتفاعل الاشعاع الكهرومغناطيسي مع ذرات المادة. وفي حالة الاتزان الحراري عند درجة حرارة T فإن عدد الذرات N₁ في مستوى الطاقة E₁ يكون ثابت أي أن

              N₁ = Constant     &    dN₁/dt = zero

Therefore

              dN₁/dt = – A₁₀ N₁ + B₀₁ N₀ ρ(ν) –  B₁₀ N₁ ρ(ν)   =    0

Hence

               N₁ (- A₁₀ –  B₁₀  ρ(ν))  +  B₀₁ N₀ ρ(ν)    =    0

               N₁ ( A₁₀  +  B₁₀  ρ(ν))   =   B₀₁ N₀ ρ(ν)
we get
                                               (4)

وحيث أن المعادلات الثلاثة الأخيرة تم اشتقاقها تحت شرط الاتزان الحراري ولهذا فإن معادلة ماكسويل بولتزمان متحققة

                                                    (5)

وبمقارنة المعادلة (4) بالمعادلة (5) نحصل على المعادلة التالية:

                              (5*)

عند درجات الحرارة العالية فإن كثافة الاشعاع تكون كبيرة وهنا يمكن اهمال تأثير عملية الانبعاث التلقائي حيث انها لا تتأثر بتغير درجة الحرارة.

when KT >> hν               we get     g₁/g₀ = N₁/N₀

hence

                                                                        (6)

From equation (5) we get

we get

                                         (7)

Equation (7) called Einstein equation for black body radiation

                From the Bank equation of black body radiation

                               (8)

we get

                                   (9)

The equation (6) and (9) are called Einstein relations.  The second relation enables us to evaluate the ratio of the rate of spontaneous emission to the rate of stimulated emission for a given pair of energy levels.

From equation (8)

To evaluate the ratio between the spontaneous emission and the stimulated emission
Let     R =

therefore

The ratio for the spontaneous emission to the stimulated emission can be written as

Example

Calculate the ratio of spontaneous emission to stimulated emission for a tungsten filament operating at a temperature of 2000K taking the average frequency to be 5×10¹⁴Hz.

Solution

The ratio R = exp[(6.6×10^-34*4×10¹⁴)/(1.38×10^-23*2000)]

تم اهمال كثافة الإشعاع

               R = 1.5×10⁵

This confirms that under normal condition of thermal equilibrium stimulated emission is not an important process.

مما سبق نستنتج أن عملية stimulated emission تنافس عمليتي spontaneous emission و absorption وحتى نكبر شعاع ضوئي بواسطة stimulated emission فإنه يجب أن نزيد معدل هذه العملية بالنسبة للعمليتين الاخرتيين.  وحتى يتحقق ذلك فإنه يجب زيادة كثافة الاشعاع وتعداد المستوى E₁ وهذا مايعرف بـ  Population Inversion.