خمس تطبيقات مفيدة لعلم تحليل الابعاد

مفهوم تحليل الابعاد في الفيزياء والهندسة والعلوم موضوع مهم جدا واتقانه مهم جدا. تحليل الابعاد هو عبارة عن عملية التحقق من العلاقات بين الكميات الفيزيائية من خلال تحديد ابعادها. ومصطلح البعد هو مصطلح أكثر له دلالة أكثر من كونه وحدة قياس. تم تقديم مفهوم تحليل الأبعاد من قبل عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف فورييه في عام 1822. وهي طريقة مفيدة في الفيزياء والهندسة لتحديد العلاقات بين الكميات الفيزيائية المختلفة من خلال تحليل كمياتها الأساسية.

هناك سبع كميات فيزيائية ذات أهمية أساسية في الفيزياء. يتم اشتقاق باقي الكميات المادية منها. وهذه الكميات الأساسية هي: الكميات الأساسية التالية:

1. الكتلة (M) Mass
2. الطول (L) Length
3. الوقت (T) Time
4. درجة الحرارة (K) Temperature
5. التيار الكهربائي (A) Electric current
6. كمية المادة (Mol) Amount of substance
7. شدة الإضاءة (Cd) Luminous intensity

باقي الكميات الفيزيائية مثل السرعة والتسارع والقوة والكثافة والطاقة وغيرها تعتبر كميات فيزيائية مشتقة لأنها تأتي من الكميات الفيزيائية الأساسية. على سبيل المثال: السرعة هي المسافة على الزمن، حيث المسافة هي نوع من الطول. إذن، بُعد السرعة يكون [L] [T]^-1

لاحظ اننا قمنا بوضع رمز بعد الطول L بين قوسين [] وهذا يعني اننا نتحدث عن بعد الطول و[T] تعني بعد الزمن.

والان سوف نستعرض خمس تطبيقات مفيدة لتحليل الابعاد

(1) معرفة أبعاد كمية فيزيائية مجهولة

مثال: في علم الديناميكا الحرارية نعلم انه لزيادة درجة حرارة مادة بمقدار ΔT، يتم الحصول على كمية الحرارة المطلوبة بواسطة العلاقة Q = mSΔT حيث m هي الكتلة S هي السعة الحرارية النوعية للمادة وQ هي كمية الحرارة. يمكننا إيجاد بُعد S بإجراء الجبر البسيط.

S=Q/mΔT

نضع ابعاد كيمة الحرارة Q والتي لها بعد طاقة والطاقة هي كمية فيزيائية مشتقة من القوة في المسافة ونعلم ان القوة أيضا كمية فيزيائية مشتقة من الكتلة في مربع التسارع. والتسارع كمية مشتقة من السرعة على الزمن، والسرعة كمية مشتقة من الطول على الزمن. وعليه نكتب بعد كمية الحرارة على النحو التالي:

Energy = Force . distance

           = mass . acceleration . distance

           = mass . (velocity/Time) . distance

           = mass (distance/Time.Time) . distance

           = mass . distance²/Time² or = mass . distance² . Time^-2

من هنا قمنا بتحويل الكمية الفيزيائية المشتقة إلى الابعاد الأساسية ونستطيع كتابة ابعاد الطاقة على النحو التالي:

[energy] = [Q] = M L² T^-2]

حيث قمنا بالتعبير عن ابعاد كل كمية فيزيائية بالرموز المتعارف عليها. وبالتالي يكون بعد الحرارة النوعية [S] على النحو التالي:

S = [M L² T^-2]/[M][K]

باختصار المعادلة نحصل على ابعاد الحرارة النوعية والتي هي على النحو التالي:

S = [L² T^-2 K^-1]

ومن هنا نكون قد اوجدنا ابعاد الكمية الفيزيائية المجهولة [S].

(2) إيجاد وحدة قياس كمية فيزيائية

على سبيل المثال ابعاد القوة هو [M L T^-2]. ولهذا فان وحدة القوة في النظام القياسي للوحدات يكون kg.m.s^-2 وهذه الوحدة تعرف باسم نيوتن تمجيدا للعالم إسحاق نيوتن.

(3) التحقق من صحة الصيغ الرياضية

في أي معادلة رياضية يجب أن يتطابق ابعاد الطرف الأيسر مع ابعاد الطرف الأيمن حتى تكون المعادلة صحيحة. هذا مفيد في أسئلة الاختيار من متعدد لأنه يساعد في التخلص من الخيارات الخاطئة.

على سبيل المثال مثال: هل القوة F = mv² / r صحيحة؟ حيث m هي الكتلة، وv هي السرعة وr نصف القطر. لمعرفة ذلك، نبدأ بكتابة ابعاد طرفي المعادلة الايسر والايمن. اذا كانت الابعاد متطابقة فان المعادلة صحيحة والا فان المعادلة تكون خاطئة.

سنعبر عن ابعاد الطرف الايسر من المعادلة

[LHS] = [F] = [M L T^-2]

والان نعبر عن ابعاد الطرف الأيمن من المعادلة

[RHS] = [mv² / r] = [M] [L²T^-2] [ L^-1] = [M] [L] [T^-2]

نلاحظ ان ابعاد الطرف الأيمن تساوي ابعاد الطرف الايسر

∴ [M L T^-2] = [M][L][T^-2]

إذا المعادلة صحيحة. في الواقع، تعبر المعادلة على قوة الطرد المركزية إذا كنت تتذكرها! وهي القوة التي تؤثر على جسم يدور في مسار دائري بسرعة v ونصف قطر الدوران r.

(4) اشتقاق صيغة رياضية

تستخدم طريقة تحليل الابعاد في اشتقاق صيغ رياضية لاي ظاهرة. على سبيل المثال: افترض أن الزمن الدوري لبندول بسيط يعتمد على كتلة البندول وطول السلك وعجلة الجاذبية الأرضية. هذه هي كل المتغيرات التي ممكن ان نفكر بها وان الزمن الدوري لاهتزاز البندول سوف يعتمد عليها.

لنفترض أن الزمن الدوري يتناسب مع تلك الكميات الفزيائية من خلال الصيغة التالية:

t ∝ m^a l^b g^c

لإيجاد صيغة الزمن الدوري t، يجب علينا ان نحدد قيم كلا من a و b و c حتى نحدد طبيعة التناسب ان كان طرديا او عكسيا او طرديا مع مربع طول السلك وهكذا، لنبدأ بكتابة الأبعاد لطرفي الصيغة الرياضية.

[M]⁰[L]⁰[T] = (constant)[M]^a[L]^b[LT^-2]^c

ابعاد الثابت هو 1. وعليه تصبح المعادلة

[M]⁰[L]⁰[T] = [M]^a[L]^b[LT^-2]^c

سوف نقوم الان بمقارنة الأسس على كلا طرفي المعادلة لنحصل على:

a=0, b+c=0 and -2c=1

عند الحل نحصل على قيم a = 0 و b = 1/2 و c = -1 / 2. الآن ، إعادة المعادلة الأصلية t∝m^a l^b g^c يعطي:

t ∝ m⁰ l^1/2 g^-1/2

t=(constant) l^1/2 g^-1/2

وبالتالي نستنتج ان الزمن الدوري لا يعتمد على كتلة البندول كما توقعنا عند وضع المتغيرات التي ممكن ان تؤثر على الزمن الدوري.

قد يعود السبب في عدم اعتماد الزمن الدوري للبندول على كتلته لان الكتلة هي سبب حركة التأرجح ومقاومة حركة التأرجح في نفس الوقت ولهذا فهي تلغي بعضها البعض.

وكما نلاحظ انه باستخدام تحليل الابعاد تم التوصل إلى القانون الذي يحسب الزمن الدوري للبندول. يجدر ان نذكر هنا ان هذه الطريقة لا يمكنها ان تحدد قيمة الثابت. وتحدد قيمة الثابت في مثل هذه الحالات من خلال القياسات العملية.

(5) للتعبير بكميات أساسية جديدة

قد تطرح مثل هذه الأنواع من الأسئلة في الاختبارات التنافسية. على سبيل المثال: إذا تم اعتبار ان كلا من الضغط والسرعة والزمن هي كميات أساسية، حدد بعد القوة على هذا الأساس.؟

لنبدأ بافتراض صيغة القوة بالاعتماد على الكميات الأساسية المطلوبة على النحو التالي:

Force = P^a v^b t^c

ونبدأ بتحديد قيم a وb وc كما فعلنا في التطبيق السابق.

نكتب ابعاد الطرف الايسر ونساويها بأبعاد الطرف الأيمن

[M L T^-2] = [ML^-1T^-2]^a[LT^-1]^b[T]^c

[M L T^-2] = [M]^a[L]^-a+b[T]^-2a-b+c

مقارنة القوى على كلا الجانبين

a=1, -a+b=1 ⇒ b=2 and -2a-b+c=-2 ⇒ c=2

∴ Force = Pv²t²

هذه هي تطبيقات علم تحليل الابعاد وهي تطبيقات مفيدة جدا وكل ما عليك هو التمرن عليها واتقانها. في هذه المحاضرة شرح مفصل لبعض الأمثلة والتمارين على موضوع تحليل الابعاد.