محاضرة 4: ظاهرة دوبلر Doppler effect

(2) ظاهرة دوبلر Doppler effect

ظاهرة دبلر هي تغير في التردد المقاس نتيجة الحركة النسبية بين المصدر والمراقب، مثل الصوت الذي نسمعه لدي مرور سيار اسعاف مسرعة بالنسبة لنا، فعندما يتحرك المصدر باتجاه مراقب ثابت فإن التردد المقاس بواسطة المراقب يزداد وعندما يبتعد المصدر عن المراقب الثابت يصبح التردد المقاس أقل من تردد المصدر في حالة سكون.

لفهم المقصود بظاهرة دبلر استعن بالتجربة الموضحة في النموذج ولاحظ ما يحدث للأمواج الصوتية عند الضغط على زر التشغيل فتتحرك العربة إما إلى اليمين أو إلى الخلف.

يمكنك التحكم في السرعة من خلال المفتاح على اليمين ولاحظ أن الرقم يشير إلى نسبة سرعة العربة بالنسبة إلى سرعة الصوت وعندما تكون 1 يعني أن سرعة العربة مساوية لسرعة الصوت.

اسحب الميكروفون لسماع الصوت أمام العربة وحركه لسماع تغير تردد الصوت عندما يكون الميكرفون خلف العربة (الميكرفون يمثل المراقب).

موقع آخر لعرض تفاعلي لظاهرة دبلر

http://www.lon-capa.org/~mmp/applist/doppler/d.htm

مما سبق نستنتج أن ظاهرة دبلر تحدث عندما تكون هناك حركة نسبية بين مصدر الصوت sound source والمراقب observer ويمكن ان تكون الحركة النسبية هي حركة المصدر بينما المراقب ثابت أو أن يكون المراقب ثابت والمصدر متحرك وفي كلاً من الحالتين سوف نقوم باشتقاق العلاقة الرياضية التي تربط بين تردد الصوت المعدل نتيجة للسرعة النسبية وبين التردد عندما يكونا كلا من مصدر الصوت والمراقب ثابتان.

هذا يعني اننا سنقوم باشتقاق اربع معادلات لتشمل كل حالات ظاهرة دبلر.

أولاً المراقب ثابت والمصدر متحرك بسرعة v_s

سنقوم في البداية بالتعامل مع حالة المصدر مقترباً من المراقب، ولشرح فكرة الاشتقاق سنقوم بمقارنة حالة ثبات المراقب والمصدر الصوتي كما هو في الشكل التالي (a) ومن ثم نفترض أن المصدر الصوتي يتحرك بسرعة vs باتجاه المراقب كما في الشكل (b).

(a) عند ثبات المراقب والمصدر الصوتي فإن جبهة الموجة الصوتية تصل إلى المراقب بتردد محدد هو التردد الأصلي للمصدر والذي نرز له بالرمز f ويكون الزمن بين جبهتي موجتين متتاليتين هو الزمن الدوري T. 

T = 1/f

(b) عندما يتحرك المصدر بسرعة vs مقترباً من المراقب فإن جبهة الموجة تصل إلى المراقب عندما كانت العربة عند الموقع 1 وبعد زمن دوري T تصل جبهة الموجة الثانية للمراقب بينما تكون العربية قد تحركت مسافة ds والتي تساوي حاصل ضرب سرعة العربة vs في الزمن الدوري T.

بينما تكون الجبهة الاولى للموجة تكون قطعت مسافة d تساوي vT حيث v سرعة الصوت في الهواء والتي تكون متساوية في الحالتين.  تكون العربة قد تحركت مسافة ds تساوي vsT حيث vs سرعة العربة.  وعليه فإن بمقارنة الطول الموجي في الشكل (a) والشكل (b) نحصل على العلاقة التالية:

λ’= d – ds

λ’= λ – vs T

بالتعويض عن الزمن الدوري نحصل على

λ’= λ – vs λ/v

وعليه فإن التغير في الطول الموجي للصوت

ومن ذلك نستنتج أن التغير في الطول الموجي يتناسب طردياً مع سرعة المصدر vs.

ولإيجاد التغير في التردد نتبع التالي:

وحيث أن التردد يساوي السرعة عل الطول الموجي فإن التردد يعطى حسب العلاقة التالية:

في حالة حركة المصدر مبتعداً عن المراقب تكون المعادلة التي تحسب التردد هي

الخلاصة

source moving toward stationary observer

vs < v      therefore    f` > f

source moving away from stationary observer

vs < v      therefore    f` < f

For Example
If source emits a sound of frequency 400Hz when at rest, then when the source moves toward a fixed observer with speed of 30m/s, the observer hear a frequency of

In the case of the source moves away from a fixed observer with speed of 30m/s, the observer hear a frequency of

ثانياً المراقب متحرك بسرعة v_s والمصدر ثابت

عندما يتحرك المراقب مقترباً أو مبتعداً عن المصدر الصوتي فإن ظاهرة دبلر تحدث في مثل هذه الحالة أيضاً ولكن مع إختلاف المعالجة الفيزيائية حيث يكون الطول الموجي للصوت ثابت في هذه الحالة سواءً كان المراقب مبتعاداً عن المصدر أم مقترباً منه، ولكن الذي يتغير هو سرعة الصوت بالنسبة للمراقب فتكون على النحو التالي:

حيث vo سرعة المراقب وv سرعة الصوت في الهواء، وعليه تكون التردد المعدل في حالة المراقب مقترباً من المصدر

بالتعويض عن الطول الموجي نحصل على

أي أن

وفي حالة ما يكون المراقب مبتعداً عن مصدر الصوت تصبح المعادلة

الخلاصة

observer moving toward stationary source

f` > f

observer moving away from stationary source

f` < f

Example

The siren of a police car at rest emits at a predominant frequency of 1600Hz. What frequency will you hear if you are at rest and the police car moves at 250m/s (a) toward you, (b) away from you?

Solution   

(a) المصدر متحرك مقترباً من المراقب لذا نتسخدم المعادلة التالية

(b) المصدر متحرك مبتعداً عن المراقب لذا نستخدم المعادلة التالية

Example

A 5000Hz sound wave is directed toward an object moving 3.5m/s toward the stationary source. What is the frequency of the reflected wave?

Solution

يوجد في هذه الحالة ظاهرة دبلر عندما تتحرك العربة (المراقب) بالنسبة إلى مصدر الصوت الثابت وكذلك عندما تنعكس الأمواج الصوتية عن العربة فتصبح العربة مصدراً متحركاً للصوت مقترباً من المراقب الموجود عند المصدر الأساسي للصوت. لذا سنقوم أولاً بحساب التعديل في التردد للصوت عندما يكون المراقب مقترباً من الصوت ثم ثانياً نستخدم هذا التردد كأنه مصدر متحرك للصوت مقترباً من المراقب (المصدر الأساسي).

First case when the observer moves toward the sound source

Second case when the car reflect the sound toward the observer

التردد f هنا يكون هو تردد الصوت الذي حصلنا عليه من الحالة الأولى 5051Hz

في الحقيقة تحدث في مثل هذه الحالة ظاهرة صوتية فيزيائية تسمى الضربات أو النبضات Beats وذلك نتيجة لتداخل الأمواج الصوتية الساقطة على العربية والمنعكسة عن العربة.  ويكون للضربات تردد يساوي فارق التردد بين الأمواج المنعكسة والساقطة.  تستخدم هذه الظاهرة التي وردت في المثال من قبل رادارات سيارات شرطة المرور لمعرفة سرعة السيارات المخالفة للسرعة القانونية كما لها تطبيقات عدة في مجال الطب حيث يتم التعرف على نبضات الجنين وكذلك سرعة تدفق الدم في الأوعية الدموية باستخدام الأمواج فوق الصوتية وظاهرة دبلر.